Inhalt

Abstract:

Der Kurs wiederholt die examensrelevanten Inhalte der Funktionentheorie (unter besonderer Betonung ihrer geometrischen Aspekte und der vielfältigen Zusammenhänge zwischen ihnen) und vertieft diese durch zahlreiche Beispielaufgaben (mit Lösungen) aus früheren Examina.

Gliederung:

Der Kurs ist in folgende Lektionen aufgeteilt:

1. Die komplexen Zahlen und die Gaußsche Zahlenebene
2. Wiederholungen und Ergänzungen zur Analysis
3. Holomorphe Funktionen
4. Wege, Wegintegrale und Umlaufszahlen
5. Die Integralsätze der Funktionentheorie
6. Taylor- und Laurent-Reihen
7. Das Argumentprinzip und der Satz von Rouche´
8. Grundprinzipien der Funktionentheorie
9. Riemannsche Sphäre und Möbius-Transformationen
10. Ganze Funktionen und isolierte Singularitäten
11. Holomorphe Logarithmen und Wurzeln
12. Grenzprozesse bei holomorphen Funktionen
13. Der Riemann'sche Abbildungssatz und konforme Abbildungen
14. Die "Residuenmethode" zur Berechnung reeller Integrale
15. Diverses (Kleines Schwarz'sches Spiegelungsprinzip, harmonische Funktionen, Wiederholungsaufgaben, weiterführende Aufgaben)

Detaillierter Inhalt:

Der Kurs wendet sich an Lehramtsstudierende in höheren Semestern, die bereits eine einführende Vorlesung zur Funktionentheorie gehört haben und sich nun auf die schriftliche Examensprüfung Analysis vorbereiten wollen, in welcher Aufgaben zur Funktionentheorie einen wesentlichen Bestandteil bilden (im langjährigen Mittel knapp 50%). Er dient zur Ergänzung von Präsenzveranstaltungen zur Examensvorbereitung (Aufgabenseminare, Repetitorien). Er ersetzt nicht den Besuch einer Funktionentheorie-Vorlesung. 

Behandelt wird der gesamte examensrelevante Stoff der Funktionentheorie. Dabei steht das Bestreben im Vordergrund, die einzelnen Resultate aus verschiedenen Blickwinkeln zu beleuchten und die Zusammenhänge zwischen ihnen herauszuarbeiten. Zur Vertiefung dienen zahlreiche frühere Examensaufgaben mit Lösungen.

Lernziele: Neben dem grundlegenden Ziel, die Vertrautheit mit den examensrelevanten Konzepten und Beweismethoden der Funktionentheorie zu fördern, liegt ein besonderes Augenmerk auf folgenden Aspekten:

• Es wird, wo immer sinnvoll und zum Verständnis hilfreich, die geometrische Sichtweise auf holomorphe Funktionen (als "im Wesentlichen", d.h. abseits der isoliert liegenden Ableitungsnullstellen lokal konforme Abbildungen) betont und damit die Verbindung zur Schulgeometrie der Mittelstufe hergestellt.
• Es werden die vielfältigen faszinierenden Zusammenhänge zwischen grundlegenden funktionentheoretischen Phänomenen herausgearbeitet. Dazu dienen vor allem großzügig eingestreute Wiederholungen, Zusammenfassungen und Querverweise.
• Es werden Gemeinsamkeiten mit und Unterschiede zur reellen Analysis bewusst gemacht.
• Es soll die Fähigkeit gestärkt werden, mathematische Inhalte präzise, logisch korrekt und zugleich nachvollziehbar und übersichtlich darzustellen.

Lern-/Qualifikationsziele:

-

Lehrveranstaltungstyp:

Kurs

Interaktionsformen mit Betreuer/in:

Übungsaufgaben, E-Mail

Interaktionsformen mit Mitlernenden:

E-Mail, Forum

Kursdemo:

zur Kursdemo

Nutzung

Kurs ist konzipiert für:

-

Formale Voraussetzungen:

-

Erforderliche Vorkenntnisse:

Grundvorlesungen Analysis, eine einführende Vorlesung Funktionentheorie im Umfang von ca. 4 SWS

Hinweise zur Nutzung:

-

Kursumsetzung (verwendete Medien):

-

Erforderliche Technik:

-

Nutzungsentgelte:

für andere Personen als (reguläre) Studenten der vhb Trägerhochschulen nach Maßgabe der Benutzungs- und Entgeltordnung der vhb

Rechte hinsichtlich des Kursmaterials:

-

Verantwortlich

Anbieterhochschule:

Uni Würzburg

Anbieter:

Prof. Dr. Oliver Roth

Autoren:

Oliver Roth

Jürgen Grahl

Betreuer:

Dr. Jürgen Grahl

Prüfung

Art der Prüfung:

schriftlicher Leistungsnachweis (Klausur)

Bemerkung:

–

Prüfer:

Prof. Dr.  Oliver Roth

Prüfungsanmeldung erforderlich:

ja

Anmeldeverfahren:

wird im Kurs bekannt gegeben

Prüfungsanmeldefrist:

–

Prüfungsabmeldefrist:

–

Kapazität:

–

Prüfungsdatum:

–

Prüfungszeitraum:

–

Prüfungsdauer:

–

Prüfungsort:

–

Zuständiges Prüfungsamt:

Heimathochschule

Zugelassene Hilfsmittel:

–

Formale Voraussetzungen für die Prüfungsteilnahme:

–

Inhaltliche Voraussetzungen für die Prüfungsteilnahme:

–

Zertifikat:

Ja (3 ECTS-Punkte)

Anerkennung:

–