Inhalt

Abstract:

Mathematik stellt eine Herausforderung für Erstsemester in Physik, Chemie, Biologie, Informatik und allen Ingenieurwissenschaften dar. Auf der einen Seite sind Schulabgänger nicht so (wie sie sein sollten) vertraut mit der Schulmathematik, auf der anderen Seite werden sie mit einer Art "neuer" Mathematik konfrontiert, mit Universitätsmathematik, der doch eine eigene Denkweise zugrunde liegt. Es treten neue Konzepte auf, eine neue (symbolische) Sprache will erlernt werden, und es gibt neue Probleme und Situationen, die über die behandelten Inhalte in der Schule hinausgehen. Viele Studierende sind deshalb überfordert und brechen evtl. sogar deshalb ihr Studium ab.

Der hier vorliegende Kurs wiederholt wichtige mathematische Konzepte der Schulmathematik und führt in die grundlegenden Konzepte der universitären Anfangsmathematik ein. Ziel ist es, dass Studierende typische naturwissenschaftliche und ingenieurwissenschaftliche Problemstellung mit Mathematik lösen können. Dieser Kurs ist nicht nur ein "Rechen- oder Formelkurs", sondern möchte ein grundlegendes Verständnis der wichtigsten Konzepte der Analysis - Zahl, Folge, Funktion, Gleichung, Ableitung, Integral, Differentialgleichung - im Rahmen einfacher Anwendungssituationen entwickeln. Dazu wird das Verständnis der mathematischen Konzepte auf einer intuitiven und häufig auch visuellen Ebene entwickelt, auch mit Hilfe von dynamischen und interaktiven Computerdarstellungen.

Der Kurs wurde von den Universitäten Würzburg und Erlangen-Nürnberg sowie von der FH-Würzburg-Schweinfurt auf deutscher Seite, und von den Universitäten Aalto Universtiy Helsinki, Metroplian University of Applied Sciences und der Vaasa University auf finnischer Seite erstellt.

Gliederung:

Die Inhalte dieses Kurses sind zentrale Inhalte der Anfangsmathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Er gliedert sich in folgende Kapitel
1. Funktionen (von linearen bis zu trigonometrischen und exponentiellen Funktionen, Einblick in Funktionen mehrerer Veränderlicher)
2. Folgen und Grenzwerte (Eigenschaften von Folgen, Grenzwerte von Folgen und Funktionen, Stetigkeit)
3. Gleichungen (lineare, quadratische, polynomische, trigonometrische, Exponentialgleichungen)
4. Ableitung (Ableitungen grundlegender Funktionen, Extremwert-Probleme)
5. Integral (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Integrale elementarer Funktionen, Integrationstechniken)
6. Differenzialgleichungen (Gewöhnliche Differenzialgleichungen erster und zweiter Ordnung)

Detaillierter Inhalt:

In Kapitel 1 werden zunächst "Funktionen" und ihre zentralen Eigenschaften aus der Schulmathematik wiederholt: lineare und quadratische Funktionen, Potenz-, Exponential- und trigonometrische Funktionen. Ihre grundlegenden Eigenschaften werden dargestellt, an Beispielen erläutert und durch verschiedene interaktive Darstellungen veranschaulicht.

Kapitel 2 behandelt das Thema "Folgen und Grenzwerte". Es werden wichtige Eigenschaften von Folgen erarbeitet und erläutert. Der Begriff des Grenzwertes von Folgen bildet dann die Grundlage für zentrale Begriffe der Analysis wie Grenzwerte von Funktionen, Ableitung und Integral.

Kapitel 3 wiederholt die Gleichungslehre der Schulmathematik und entwickelt darauf aufbauend einen Zugang zu Methoden der Hochschulmathematik. Es wird eine Vielfalt an Gleichungstypen behandelt, die sich jedoch alle auf Prototypen zurückführen lassen. Für Polynomgleichungen gibt es - in der Schule - zumindest für quadratische Gleichungen eine Lösungsformel. Polynomgleichungen höheren Grades, Exponentialgleichungen und trigonometrische Gleichungen können nur noch iterativ näherungsweise oder graphisch gelöst werden.

Kapitel 4 behandelt die Differenzialrechnung. Er befasst sich mit der Definition und grundlegenden Eigenschaften von Ableitungen. Die verschiedenen Differenziationssregeln werden verwendet, aber nicht alle im Detail nachgewiesen. Darüber hinaus liegt der Schwerpunkt auf Anwendungsproblemen, die mit Differenzialrechnung gelöst werden können, z.B. Verkehrsprobleme, Verpackungsprobleme und eine Vielzahl von Extremwertproblemen.

Kapitel 5 behandelt die Integralrechnung. Ausgehend von der Definition des Riemannschen Integrals werden verschiedene Methoden der Integration behandelt: Partielle Integration, Methode der Substitution und Integration mit Hilfe von Partialbruchzerlegungen. Es wird auf viele Anwendungsprobleme der Ingenieurmathematik eingegangen. Im Mittelpunkt stehen praktische Methoden zur Berechnung und die geometrische Veranschaulichung von Integralen. Dabei wird den motivierenden Beispielen und Illustrationen der Hauptideen mehr Aufmerksamkeit gewidmet als strengen Beweisen.

Kapitel 6. In diesem Kapitel werden Methoden zur Lösung der wichtigsten Fälle der Gleichungen 1. und 2. Ordnung behandelt: separierbare und lineare Gleichungen erster Ordnung, lineare Gleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, charakteristisches Polynom, homogene und inhomogene Fälle, grundlegende Anwendungen wie exponentieller Zerfall und harmonische Oszillation. Differenzialgleichungen werden rechnerisch gelöst, es wird aber auch Wert darauf gelegt, das mathematische Denken und die Problemlösungsfähigkeiten der Schüler zu entwickeln. Die meisten grundlegenden Arten gewöhnlicher Differentialgleichungen werden zusammen mit elementaren Lösungsverfahren diskutiert. Mehrere anwendungsorientierte Beispiele aus klassischen naturwissenschaftlichen Problemen werden behandelt.

Lern-/Qualifikationsziele:

-

Lehrveranstaltungstyp:

Virtuelle Vorlesung

Interaktionsformen mit Betreuer/in:

E-Mail, Übungsaufgaben für Selbstlernbetrieb, Chat

Interaktionsformen mit Mitlernenden:

Chat

Kursdemo:

zur Kursdemo

Nutzung

Kurs ist konzipiert für:

Studienanfänger in allen Bereichen mit einer naturwissenschaftlichen Grundlage, also Physik, Chemie, Biologie, Informatik, aber auch Wirtschaftsinformatik, Funktionswerkstoffe, Luft- und Raumfahrt,...

Studienanfänger an den Fachhochschulen mit einer naturwissenschaftlich-technischen Grundlage: Elektronik, Maschinenbau

Formale Voraussetzungen:

-

Erforderliche Vorkenntnisse:

Der Kurs wird in MOODLE dargeboten. Das verwendete Programm Geogebra (www.geogebra.com) ist heute ein in -fast- allen Schulen und in Didaktik-Universitätsvorlesungen verwendetes - kostenloses - Programm. Die Kenntnis der Benutzung beider Programme gehört zu den Standardkompetenzen von Studierenden. Es sind sonst keine weiteren besonderen technischen Anforderungen notwendig.

Hinweise zur Nutzung:

Der Kurs wird über einen Moodle-Kurs der Universität Würzburg angeboten. Während des Kurses werden Übungsaufgaben angeboten, die von den Teilnehmern eingesandt und von Tutor(inn)en korrigiert werden. Am Ende des Kurses wird eine Klausur geschrieben. Die kann live vor Ort oder als Online-Klausur geschrieben werden. Das wird zu gegebener Zeit entschieden.

Kursumsetzung (verwendete Medien):

-

Erforderliche Technik:

-

Nutzungsentgelte:

für andere Personen als (reguläre) Studenten der vhb Trägerhochschulen nach Maßgabe der Benutzungs- und Entgeltordnung der vhb

Rechte hinsichtlich des Kursmaterials:

-

Verantwortlich

Anbieterhochschule:

Uni Würzburg

Anbieter:

Prof. Dr. Hans-Stefan Siller

Autoren:

Hans-Georg Weigand

Wigand Rathmann

Boris Bittner

Betreuer:

Prof. Dr. Hans-Stefan Siller

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