Inhalt

Abstract:

Der Kurs wiederholt die examensrelevanten Inhalte zu gewöhnlichen Differentialgleichungen (unter besonderer Betonung geometrischer Aspekte) und vertieft diese durch zahlreiche Beispielaufgaben (mit Lösungen) aus früheren Examina.

Gliederung:

Der Kurs ist in folgende Lektionen gegliedert:

1. Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme
2. Eindeutigkeit und lokale Existenz von Lösungen
3. Maximale Lösungen und ihr Randverhalten
4. Flüsse, Trajektorien und Phasenporträts
5. Erste Integrale und Hamilton-Systeme
6. Lösungsmengen linearer Differentialgleichungen
7. Autonome lineare Differentialgleichungen
8. Klassifikation ebener autonomer linearer Systeme
9. Skalare lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
10. Stabilität von Gleichgewichtspunkten
11. Eigenwertkriterien für Stabilität 
12. Ljapunov-Funktionen
13. Spezielle Lösungsmethoden 
14. Einige Anwendungen

Detaillierter Inhalt:

Der Kurs wendet sich an Lehramtsstudierende in höheren Semestern, die eine einführende Vorlesung über  Gewöhnliche Differentialgleichungen gehört haben und sich nun auf die schriftliche Examensprüfung "Analysis" vorbereiten wollen, in welcher Aufgaben zu Differentialgleichungen einen wesentlichen Bestandteil bilden (im langjährigen Mittel ca. 40%). Er dient zur Ergänzung von Präsenzveranstaltungen zur Examensvorbereitung (Aufgabenseminare, Repetitorien). Er ersetzt nicht den Besuch einer einschlägigen Vorlesung.

Behandelt wird der gesamte examensrelevante Stoff über Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf Visualisierungen und Animationen des Verhaltens der Lösungen von Differentialgleichungen, u.a. mithilfe von GeoGebra-Applets. Ergänzt und illustriert werden diese Inhalte durch ausgewählte Beispielaufgaben (in verschiedenen Schwierigkeitsstufen) mit detaillierten Lösungen aus den einschlägigen Staatsexamensprüfungen der letzten Jahre.

Ein besonderes Augenmerk liegt zudem auf folgenden Aspekten:
- Die überragende Bedeutung von Differentialgleichungen zur Beschreibung unserer Welt wird anhand von zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft, Technik und Wirtschaft illustriert. Damit soll den angehenden Lehrerinnen und Lehrern insbesondere der nötige Hintergrund vermittelt werden, um später im Schulunterricht die Bedeutung der Mathematik für Technik, Wissenschaft, Kultur und Gesellschaft angemessen herausstellen zu können.
- Es soll ein Bewusstsein für die Problematik geschaffen werden, dass man - abgesehen von wichtigen Spezialfällen - i.Allg. keine expliziten Lösungen von Differentialgleichungen angeben kann und dass dies nicht als Makel, sondern als Ausdruck der Reichhaltigkeit dieses Gebiets der Mathematik begriffen werden sollte.
- Dementsprechend soll als Ergänzung der üblichen Lösungsstrategien und Rechentechniken die Fähigkeit vermittelt werden, mithilfe theoretischer Resultate und geeigneter Abschätzungen das Verhalten von Lösungen qualitativ zu untersuchen.
- Solche qualitativen Betrachtungen des Lösungsverhaltens sind insbesondere hervorragend geeignet, das für viele Bereiche der Analysis typische (und für den Schulunterricht insbesondere der Oberstufe essentielle!) Wechselspiel zwischen mathematischem Formalismus und Anschauung zu trainieren.
- Durch großzügig eingestreute Wiederholungen, Zusammenfassungen und Querverweise soll die Vernetzung der einzelnen Bereiche der Theorie erleichtert und das Verständnis von Zusammenhängen gefördert werden.
- Es soll die Fähigkeit gestärkt werden, mathematische Inhalte präzise, logisch korrekt und zugleich nachvollziehbar und übersichtlich darzustellen. Dies stellt nicht nur eine Grundvoraussetzung für die erfolgreiche Bearbeitung von Examensaufgaben dar, sondern ist auch von zentraler Bedeutung für die künftige Unterrichtstätigkeit der angehenden Lehrerinnen und Lehrer.

Die Prüfung besteht in der Bearbeitung semesterbegleitender Übungsaufgaben. Ergänzend werden Multiple-Choice- und andere Kontrollfragen bereitgestellt; diese sind nicht Bestandteil der Prüfung.

Lern-/Qualifikationsziele:

-

Lehrveranstaltungstyp:

Kurs

Interaktionsformen mit Betreuer/in:

E-Mail, Übungsaufgaben

Interaktionsformen mit Mitlernenden:

E-Mail, Forum

Kursdemo:

zur Kursdemo

Nutzung

Kurs ist konzipiert für:

Studierende des gymnasialen Lehramts mit Mathematik als Unterrichtsfach

Formale Voraussetzungen:

Keine

Erforderliche Vorkenntnisse:

-

Hinweise zur Nutzung:

-

Kursumsetzung (verwendete Medien):

-

Erforderliche Technik:

-

Nutzungsentgelte:

für andere Personen als (reguläre) Studenten der vhb Trägerhochschulen nach Maßgabe der Benutzungs- und Entgeltordnung der vhb

Rechte hinsichtlich des Kursmaterials:

-

Verantwortlich

Anbieterhochschule:

Uni Würzburg

Anbieter:

Prof. Dr. Oliver Roth

Autoren:

Johannes Stowasser

Jürgen Grahl

Oliver Roth

Betreuer:

Dr. Jürgen Grahl

Prüfung

Art der Prüfung:

Übungsaufgaben

Bemerkung:

–

Prüfer:

Prof. Dr.  Oliver Roth

Prüfungsanmeldung erforderlich:

ja

Anmeldeverfahren:

–

Prüfungsanmeldefrist:

–

Prüfungsabmeldefrist:

–

Kapazität:

–

Prüfungsdatum:

–

Prüfungszeitraum:

–

Prüfungsdauer:

–

Prüfungsort:

–

Zuständiges Prüfungsamt:

Durchführung: Anbietende Hochschule; Anerkennung: Heimathochschule

Zugelassene Hilfsmittel:

–

Formale Voraussetzungen für die Prüfungsteilnahme:

Kursanmeldung

Inhaltliche Voraussetzungen für die Prüfungsteilnahme:

Kursinhalte

Zertifikat:

Nein

Anerkennung:

–